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Professor(Matemática), compositor, poeta. Simples e romântico.

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" Nenhum rumo é bom para quem não sabe onde chegar" - Lúcio Brito -

' Feliz aquele que transfere o que sabe e aprende o que ensina'

(William Shakespeare ).

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“Não há educação fora das sociedades humanas e não há homem no vazio”
(Paulo Freire 1994, p.43)



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segunda-feira, 8 de setembro de 2008

FRUTA DE CONDE

FRUTA DE CONDE

A tarde já ia, devagar.
A noite já vinha, pra chegar,
A fome batia, pra merendar
O meu amor fazia renda, rendar.

Faca de ponta, pra afiar.
A morte não conta, pra começar.
A noite é longa, pra namorar.
Cavalo de monta, pra cavalgar.

Lama de barro menino, vai lá buscar,
Pra mariinha menino, poder moldar.
Vai bem depressa, um pé lá e outro cá
pra “mode” o barro menino, não “empedrá.”

Noite já longe vai, adormecer.
Lua se esconde cai, pro sol nascer.
Fruta de conde, ai, vai recolher,
Que mata a fome sai, é de comer.

domingo, 7 de setembro de 2008

MATEMATICA FINANCEIRA

CURSO DE MATEMÁTICA FINANCEIRA

PROFESSOR: LÚCIO BRITO
PORTO SEGURO – BA - 2008
E-mail: lucio_brito50@yahoo.com.br
Cel: (73) 8827.8040

Operações sobre Mercadorias_____________________
LÚCIO BRITO

1. Introdução
Neste capítulo apresentaremos outros problemas de porcentagens, que ocorrem na vida comercial, envolvendo as operações comerciais que podem gerar lucro ou prejuízo sobre o preço de custo ou sobre o preço de venda.

2. Vendas com lucro
2.1. Sobre o preço de custo
2.2. Sobre o preço de venda

VENDAS COM LUCRO SOBRE O PREÇO DE CUSTO
Fórmulas para calcular essa operação:
L = V – C
L = i • C
PV = (1 + i) • C
Onde:
V: Preço de venda;
C: Preço de compra;
L: Lucro;
i: taxa unitária do lucro.

VENDAS COM LUCRO SOBRE O PREÇO DE VENDA
L = V – C
L = i • V
V = C / (1 – i)

Exemplos:
1) Por quanto devo vender um aparelho de som que comprei por R$ 1.200,00 e desejo lucrar 30% sobre a compra?

Solução:

V = C + L
V: preço de venda V = 1200+ (1200 ⋅ 0,3)
C: preço de custo V = 1200+360
L: lucro V = 1.560
R: Deverei vender o aparelho por R$ 1.560,00

2) Comprei um quadro por R$ 4.500,00 e quero obter um lucro de 10% sobre o preço de venda. Por quanto deverei vender esse quadro?
Solução:
C= R$ 4.500,00 V = C + L
L= 0,1 V V = 4500 + 0,1V
V ? 1V - 0,1V= 4500
0,9V = 4500
0,9 V = 4500
V = 5000
R: O quadro deverá ser vendido por R$ 5.000,00

3. Vendas com prejuízo
3.1. Sobre o preço de custo
3.2. Sobre o preço de venda

VENDAS COM PREJUÍZO SOBRE O PREÇO DE CUSTO
P = V – C
P = i x C
V = (1 – i) /C
Onde:
V: Preço de venda;
C: Preço de compra;
P: Prejuízo;
i: taxa unitária do prejuízo.

VENDAS COM PREJUÍZO SOBRE O PREÇO DE VENDA
P = V – C
P = i x V
V = C/(1 – i)

Exemplo:

1) Uma saca de batata foi vendida com um prejuízo de 15% sobre o preço de custo. Sabendo-se que essa saca custou R$ 200,00. Qual foi o preço de venda?
Solução:
V: preço de venda V = C – P
C: preço de custo V = 200 - 0,15. 200
P: prejuízo V = 200 – 30
V = 170
R: Logo, a saca de batata foi vendida por R$ 170,00.

2) Um automóvel custando R$ 5.500,00 foi vendido com um prejuízo de 10% sobre o preço de venda. Calcule o preço de venda.
V = C – P
V = 5.500 – 0,1V
1V + 0,1V = 5.500
1,1V = 5.500
V = 5.500 / 1,1 = 5.000

AUMENTOS E ABATIMENTOS SUCESSIVOS

AUMENTOS SUCESSIVOS
Todo aumento sucessivo configura um MONTANTE acumulado de todas as taxas aplicadas.
Fórmula para calcular os aumentos sucessivos:
M = VP. (1 + i1). (1 + i2). (1 + i3). (1 + i4)... (1 + in).
Onde:
M = Montante ou valor atual das taxas aplicadas;
VP = Valor principal da fatura ou nota de promissória;
i = taxa de aplicação.

ABATIMENTOS SUCESSIVOS
Todo abatimento sucessivo configura um LÍQUIDO acumulado de todas as taxas aplicadas.
Fórmula para calcular os aumentos sucessivos:
L = VP. (1 + i1). (1 + i2). (1 + i3). (1 + i4)... (1 + in).
Onde:
L = Líquido ou valor atual das taxas aplicadas;
VP = Valor principal da fatura ou nota de promissória;
i = taxa de aplicação.

Exercícios propostos

1) Certa mercadoria foi vendida por R$ 1.560,00, com prejuízo de 12% sobre seu preço de custo. O preço de custo dessa mercadoria é de:

2) Uma fatura no valor de R$ 800,00 sofreu abatimentos sucessivos de 5%; 6% e 10%. Calcule o valor líquido da fatura.

3) Maria vendeu um relógio por R$ 650,00 com um prejuízo de 3,5% sobre o preço de compra. Para que tivesse um lucro de 6% sobre o custo, ela deveria ter vendido por:

4) Joana vendeu um fogão com prejuízo de 6% sobre o preço de venda. Admitindo-se que ela tenha comprado o produto por R$ 650, 00, o preço de venda foi de:

5) (TTN) Um terreno foi vendido por R$ 16.500,00, com lucro de 10%, em seguida, foi revendido por R$ 20.700,00. O lucro total das duas transações representa sobre o custo inicial do terreno um percentual de:

MATEMATICA FINANCEIRA
NOÇÕES BÁSICAS


Conceito: A MATEMÁTICA FINANCEIRA tem por objetivo estudar as diversas formas de evolução do valor do dinheiro no tempo, bem como as formas de análise e comparação de alternativas para aplicação / obtenção de recursos financeiros.


Capital  É qualquer valor expresso em moeda (dinheiro ou bens comercializáveis) disponível em determinada época. Referido montante de dinheiro também é denominado de capital inicial ou principal.


Juros  é o aluguel que deve ser pago ou recebido pela utilização de um valor em dinheiro durante certo tempo; é o rendimento em dinheiro, proporcionado pela utilização de uma quantia monetária, por certo período de tempo.


Taxa de Juros  é um coeficiente que corresponde à razão entre os juros pagos ou recebidos no fim de um determinado período de tempo e o capital inicialmente empatado.

Ex.:
Capital Inicial: $ 100
Juros: $ 150 - $ 100 = $ 50
Taxa de Juros: $ 50 / $ 100 = 0,5 ou 50 % ao período
• a taxa de juros sempre se refere a uma unidade de tempo (dia, mês, ano, etc) e pode ser apresentada na forma percentual ou unitária.

Taxa de Juros unitária: a taxa de juros expressa na forma unitária é quase que exclusivamente utilizada na aplicação de fórmulas de resolução de problemas de Matemática Financeira; para conseguirmos a taxa unitária ( 0.05 ) a partir da taxa percentual ( 5 % ), basta dividirmos a taxa percentual por 100:

5 % / 100 = 0.05

Montante  denominamos Montante ou Capital Final de um financiamento (ou aplicação financeira) a soma do Capital inicialmente emprestado (ou aplicado) com os juros pagos (ou recebidos).

Capital Inicial = $ 100
+ Juros = $ 50
= Montante = $ 150

Regimes de Capitalização  quando um capital é emprestado ou investido a certa taxa por período ou diversos períodos de tempo, o montante pode ser calculado de acordo com 2 regimes básicos de capitalização de juros:
Capitalização simples;
Capitalização composta;


Capitalização Simples  somente o capital inicial rende juros, ou seja, os juros são devidos ou calculados exclusivamente sobre o principal ao longo dos períodos de capitalização a que se refere a taxa de juros


Capitalização Composta  os juros produzidos ao final de um período são somados ao montante do início do período seguinte e essa soma passa a render juros no período seguinte e assim sucessivamente.
Comparando-se os 2 regimes de capitalização, podemos ver que para o primeiro período considerado, o montante e os juros são iguais, tanto para o regime de capitalização simples quanto para o regime de capitalização composto;
salvo aviso em contrário, os juros devidos no fim de cada período (juros postecipados) a que se refere a taxa de juros.

No regime de capitalização simples, o montante evolui como uma progressão aritmética, ou seja, linearmente, enquanto que no regime de capitalização composta o montante evolui como uma progressão geométrica, ou seja, exponencialmente.



3 - Juros Simples_____________________________
LÚCIO BRITO

1. Introdução
Quando emprestamos um capital a uma pessoa (física ou jurídica), recebemos de volta a quantia emprestada mais uma quantia que denominamos de juros.
Chamamos de juros simples a remuneração de um capital (C) aplicado a uma taxa (i), por um período de tempo determinado (n). A taxa de juro indica o valor do juro a ser pago numa unidade de tempo, e será expresso em porcentagem do capital.

Exemplos:
a) A taxa de juro de 5% ad. - significa que o valor do juro é igual 5% do capital, por dia.

b) A taxa de juro de 20% a.m. - significa que o valor do juro é igual a 20% do capital, por mês.
Capital (principal ou valor presente)
É a quantia aplicada ou emprestada por um período de tempo.
Prazo (ou tempo) É o período de aplicação do capital.

2. Regime de capitalização
O regime de capitalização pode ser simples ou composto.

2.1. Regime de capitalização simples
No regime de capitalização simples, a taxa de juro incide sobre o capital inicial, e no final de cada período os juros obtidos serão iguais ao produto do capital pela taxa do período.


3. Cálculo do juro simples e montante.
Seja um capital (C) aplicado a uma taxa (i) por período, durante n períodos consecutivos, sob o regime de capitalização simples. Juros formados no final de cada período serão iguais, e, portanto teremos:

JURO SIMPLES J = C.i.n

MONTANTE M = C + J
M = C + C.i.n
M = C(1 + i.n)

Exercícios Resolvidos
1) Calcular os juros produzidos por um capital de R$ 2.000,00 colocado a taxa 1% a.m. durante 1 ano e 2 meses.


Dados:
J=? J = C. i. n
C =R$ 2.000,00 J = 2000 . 0,01 . 14
I =1% a.m. = 0,01 J = 280
n =1 ano 2 meses = 14 meses
R: Os juros obtidos serão de R$ 280,00.

2) Um capital de R$ 4.000,00 rendeu em 1 mês a importância de R$ 1.000,00 de juros. Calcular a taxa.
Dados: J = C• i. • n
C = R$ 4.000,00 1000 = 4.000 • i •. 1
n = 1 mês 1000 = 4000i
i = ? i = 1000 / 4000
J =R$ 1.000,00 i = 0,25 OU 25%

3) Durante quanto tempo é necessário empregar o capital de R$ 200,00 para que renda R$ 80,00 de juros, sendo a taxa 1% a.m.?
Solução:
C= R$ 200,00 J = C •.i . • n
J= R$ 80,00 80 = 200 • 0,01 • n
i= 1% a.m. 80 = 2n
n=? n = 80 / 2
n = 40 meses ou 3 anos e 4 meses
4) Calcular o capital que, aplicado a taxa de 1% a.m., produz em 1 ano e 1 mês, juros de R$ 650,00.
Solução:
i = 1% a.m. J = C • i • n
n = 13 meses 650 = C • 0,01 • 0.13
J= R$ 650,00 650 = C.0,13
C = 650 / 0.13
C = 5000
5) Calcular o montante de um capital de R$ 1.200,00, empregado durante 2 anos e 6 meses a taxa de
0,5% a.m..

Solução M = C(1 + i.n)
M=? M = 1200 (1 + 0,005 • 30)
C = R$ 1.200,00. M = 1200(1 + 0,15)
n= 2 anos e 6 meses = 30 meses M = 1200 • 1,15
i= 0,5% a.m. M = 1.380

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO

01) O capital de R$ 530,00 foi aplicado á taxa de juros simples de 3% ao mês. Qual o valor do montante após 5 meses de aplicação?

02) Um capital de R$ 600, 00, aplicado a uma taxa de juros simples de 20% ao ano, gerou um montante de R$ 1080,00 depois de certo tempo. Qual foi esse tempo?

03) Qual foi o capital que, aplicado à taxa de juros simples de 1,5% ao mês, rendeu R$ 90,00 em um trimestre?

04) A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 4500, 00, no sistema de capitalização simples, para que depois de 4 meses, o montante seja de R$ 5040,00?


05) Quanto rendeu a quantia de RS 600, 00, aplicado a juros simples, com taxa de 2,5 % ao mês, no final de 1 ano e 3 meses?

06) Um capital de R$ 800, 00, aplicado a juros simples com uma taxa de 2% ao mês, resultou um montante de R$ 880,00 após certo tempo. Qual foi o tempo da aplicação?

07) Uma dívida de RS 750,00 foi paga 8 meses depois de contraída e os juros pagos foram de R$ 60,00. Sabendo que o cálculo foi feito usando juros simples, qual foi a taxa de juros?

08) Um capital aplicado a juros simples rendeu, à taxa de 25% ao ano, juros de R$ 110,00 depois de 24 meses. Qual foi esse capital?

09) Em 1º de março de 2004 uma pessoa emprestou a quantia de R$ 4000,00, a juros simples, com taxa de 4% ao mês. Qual era o montante da dívida em 1º de julho de 2004?

10) Durante quanto tempo um capital deve ser aplicado para que seu valor dobre, no sistema de juros simples, a taxa de 2% ao mês. R - 50 meses
11) Calcular os juros simples de R$ 1200,00 a 13 % a.t. por 4 meses e 15 dias.
12 - Calcular os juros simples produzidos por R$40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a., durante 125 dias.
13 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rende R$3.500,00 de juros em 75 dias?
14 - Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão necessários para dobrar um capital aplicado através de capitalização simples?

15- Qual o valor do juro correspondente a um empréstimo de R$ 3.200,00, pelo prazo de 18 meses, sabendo que a taxa cobrada é de 3% ao mês?

16- Calcule o juro simples do capital de R$ 36.000,00, colocado à taxa de 30% ao ano, de 2 de janeiro de 1990 a 28 de maio do mesmo ano.

17- Qual a taxa de juro cobrada em um empréstimo de R$ 1.500,00 a ser resgatado por R$ 2.700,00 no final de 2 anos?

18- A que taxa o capital de R$ 24.000,00 rende R$ 1.080,00 em 6 meses?
19- Um capital emprestado a 24% ao ano rendeu, em 1 ano, 2 meses e 15 dias, o juro de R$ 7.830,00. Qual foi esse capital?

20- Uma aplicação de R$ 400.000,00, pelo prazo de 180 dias, obteve o rendimento de R$ 60.000,00. Qual a taxa anual correspondente a essa aplicação?

21- Em quanto tempo um capital triplica de valor à taxa de 20% ao ano?

22- Por quanto tempo um capital deve ser empregado a 40% ao ano para que o juro obtido seja igual a 4/5 do capital?

23- Determine o montante de uma aplicação de R$ 5.000,00, à taxa de 2% ao mês, durante 2 anos.

24- Sabendo que um capital foi duplicado em 8 anos a juro simples, a que taxa foi empregado esse capital?

25- É mais vantajoso empregar R$ 5.260,00 a 24% ao ano ou R$ 3.510,00 a 22% ao ano e o restante a 28% ao ano?

26- Empregam-se 2/3 de um capital a 24% ao ano e o restante a 32% ao ano, obtendo-se, assim, um ganho anual de R$ 8.640,00. Qual é o valor desse capital?

27- Determine a aplicação inicial que, à taxa de 27% ao ano, acumulou em 3 anos, 2 meses e 20 dias um montante de R$ 586.432,00.

28- Duas pessoas tem juntas R$ 261.640,00 e empregam o que tem à taxa de 40% ao ano. Após 2 anos, a primeira recebe R$ 69.738,00 de juro a mais que a segunda. Qual o capital de cada uma?

29- O montante de uma aplicação por 4 meses é de R$ 42.336,00; por 9 meses a mesma taxa, é de R$ 46.256,00. Calcule a taxa comum e a aplicação inicial.

30- O capital de R$ 7.812,00 foi dividido em 2 partes. A primeira, colocada a 4% ao mês, rendeu durante 5 meses o mesmo juro que a segunda durante 8 meses a 2% ao mês. Calcule o valor de cada parte.

31- Maria, dispondo de R$ 3.000,00, resolveu aplicá-los em duas financeiras. Na primeira aplicou uma parte a 8% am por 6 meses e na segunda aplicou o restante a 10% am por 8 meses. Sendo de R$ 1.824,00 a soma dos juros auferidos nas duas aplicações, determine o valor dessas aplicações.

32- Um capital ficou depositado durante 10 meses à taxa de 8% am em juros simples. A soma desse capital mais juro, no final desse prazo, foi reaplicada à taxa de juros simples de 10% am, durante 15 meses. No final foi resgatado R$ 1.125.000,00. Calcule o valor do capital inicial aplicado.

33 - Um cliente economizou durante 3 anos, obtendo uma taxa de 4% aa. e depois empregou a soma deste capital e juros na compra de uma casa. O aluguel desta casa rende R$ 4600,00 por um ano, o equivalente a 5% sobre o preço da compra. Que soma o cliente depositou no banco?

34- Comprei uma bicicleta e paguei com um cheque pré-datado para 34 dias, no valor de R$ 204,00. Sabendo-se que a loja cobra uma taxa de juros simples de 6,5% am, calcule o preço da bicicleta se fosse adquirida à vista.

35- Um produto que a vista custa R$ 280,00 pode ser comprado com uma entrada de R$ 160,00 e mais um pagamento de R$ 127,80 para 25 dias. Determine a taxa mensal de juros simples cobrada nesta operação.

36- Uma indústria adquiriu matéria prima no valor de R$ 45.000,00, pagando no ato da compra R$ 15.000,00 e R$ 18.000,00 a ser pago no final de 45 dias após. Qual o pagamento que ainda deverá ser feito no final de 90 dias, para liquidar a dívida, sabendo-se que o vendedor cobra uma taxa linear de 45% aa.?

37 - Um capital acrescido de seus juros de 21 meses soma R$ 156.400,00. O mesmo capital diminuído de seus juros de nove meses é reduzido a R$ 88.400,00. Calcular o capital e a taxa de juros simples ganha.

38- Um capital de R$ 4.500,00 foi dividido em três parcelas que foram aplicadas pelo prazo de um ano. A primeira a juros simples de 4% at, a segunda a juros simples de 6% at e a terceira a juros simples de 10% at. Se o rendimento da primeira parcela for de R$ 160,00 e o rendimento das três parcelas totalizar R$ 1.320,00, calcular o valor de cada parcela.
39- Dois capitais, um de R$ 2.400,00 e outro de R$ 1.800,00, foram aplicados a uma taxa de juros simples. Calcular a taxa considerando que o primeiro capital em 48 dias rendeu R$ 17,00 a mais que o segundo em 30 dias.

40- Uma pessoa aplicou dois capitais a juros simples, o primeiro a 33% aa e o segundo a 45% aa. Se o rendimento de ambas as aplicações totalizou R$ 52.500,00 no prazo de um ano, determinar o valor dos capitais, sabendo-se que o primeiro é 37,5% menor que o segundo.

41- Há 13 meses e 10 dias um capital de R$ 10.000,00 foi aplicado à taxa de juros simples de 6% aa. Se hoje fosse aplicada a importância de R$ 8.000,00 a juros simples de 12% aa, e o primeiro capital continuasse aplicado à mesma taxa, em que prazo os montantes respectivos seriam iguais?

42- Uma empresa obteve um empréstimo de R$ 200.000,00 a juros simples de 10% aa. Algum tempo depois liquidou a dívida, inclusive juros, e tomou um novo empréstimo de R$ 300.000,00 a juros simples de 8% aa. Dezoito meses após o primeiro empréstimo liquidou todos seus débitos, tendo pagado R$ 35.000,00 de juros totais nos dois empréstimos. Determinar os prazos dos dois empréstimos em meses.

43- Uma aplicação de R$ 15.000,00 é efetuada pelo prazo de 3 meses à taxa de juros simples de 26% ao ano. Que outra quantia deve ser aplicada por 2 meses à taxa linear de 18% ao ano para se obter o mesmo rendimento?

44- Uma TV em cores tela plana é vendida nas seguintes condições: R$ 1.800,00 a vista ou a prazo com 30% de entrada mais R$ 1.306,00 em 30 dias. Determinar a taxa de juros simples cobrada na venda a prazo.

GABARITO
01) R - R$ 609,50
02) R - 4 anos
03) R - R$ 2000,00
04) R - 3% ao mês
05) R - R$ 225,00
06) R - 5 meses
07) R - 1% ao mês
08) R - R$ 220,00
09) R - R$ 4640,00
10) R - 50 meses
11) R – R$ 234,00
12) R R$ 5.000,00
13) R R$ 116.666,67
14) R 16 meses
15) 1.728,00
16) 4.380,00
17) 40% aa
18) 0,75% am
19) 27.000,00
20) 30% aa
21) 10 anos
22) 2 anos
23) 7.400,00
24) 12,5% aa
25) indiferente
26) 32.400,00
27) 313.600,00
28) 174.406,00; 87.234,00
29) 2% am; 39.200,00
30) 3.472,00; 4.340,00
31) 1.800,00; 1.200,00
32) 250.000,00
33) 82.142,86
34) 190,00
35) 7,8% am
36) 14.416,42
37) 108.800,00; 25% aa
38) 1.000,00; 1.500,00; 2.000,00
39) 10% aa (0,833% am)
40) 50.000,00; 80.000,00
41) 3.067 dias
42) 3m; 15m
43) 32.500,00
44) 3,65% am
4. Taxas proporcionais
Duas taxas são denominadas de proporcionais, quando seus valores formam uma proporção
com os seus respectivos períodos de tempo, reduzidos numa mesma unidade. Assim, sendo teremos:

I1 I2
----- = -----
n1 n2

Exemplos:
1) Qual a taxa mensal proporcional a taxa de 24% a.a.
Solução:

I1 / 1 = 24 / 12 = 12i = 24 = i = 2%

2) Calcule a taxa anual proporcional a 1,5% a.m.
5. Taxas equivalentes
Duas taxas são denominadas de equivalentes, quando aplicadas a um mesmo capital, num
mesmo período de tempo, e produzem juros iguais.
Exemplo:
Calcular os juros produzidos pelo capital de R$ 1.000,00:
a) a taxa de 2% a.m., durante 3 meses.
b) a taxa de 1,5% a.a., durante 4 anos.
Solução:
a)
J=?
C= R$ 1.000,00 J= C• i• n
i= 2% a.m J= 1000 •0,02 •3
n= 3 meses J= 60,00
b)
J=?
C =R$ 1.000,00 J = C• i•n
i=1,5% a.a J = 1000 •0,15 •4
n=4 anos J = 60,00

Como os juros obtidos são iguais, podemos afirmar que 2% a.m. é uma taxa equivalente a 1,5% a.a

6. Prazo médio
Para o cálculo do prazo médio, mencionaremos quatro casos, a saber::

a) Capitais e taxas iguais.
Neste caso o prazo médio é calculado pela média aritmética simples dos prazos dados.
Exemplo:

1) Uma pessoa aplicou R$ 1.000,00, a taxa de 2% a.a., durante 2 meses e R$ 1.000,00, a mesma taxa, durante 4 meses. Qual o prazo médio dessa aplicação?
2 + 4 = 6 = 3 meses (prazo médio)
2 2
b) Capitais diferentes e taxas iguais
Quando os capitais são diferentes e as taxas iguais, o prazo médio é calculado pela média
aritmética ponderada dos prazos pelos capitais.
Exemplo:
Determine o prazo médio de aplicação de dois capitais, de R$ 1.200,00, e R$ 1.800,00, aplicadas durante 1 ano e 3 anos, respectivamente, a taxas iguais?
Solução:
Multiplicando os prazos pelos respectivos capitais.

1 • 1.200 = 1.200
3 • 1.800 = 5.400
3.000 6.600
Dividindo a soma dos produtos pela soma dos capitais teremos:
6.600 / 3.000 = 2,2 anos

c) Capitais iguais e taxas diferentes.
Quando os capitais são iguais e as taxas diferentes, a solução é idêntica ao caso anterior.

d) Capitais e taxas diferentes.
Quando os capitais e as taxas são distintos, o prazo médio é calculado pela soma dos produtos
dos capitais pelo tempo de aplicação e pela sua respectiva taxa dividida pela soma dos produtos do
capital por essa referida taxa de aplicação.
Exemplo:
Qual o prazo médio de aplicação de dois capitais:
R$ 800,00 em 20 dias a 1,5% a.a., R$ 1.000,00 a 2% a.a. em 30 dias?
Tempo Capital Taxa = Valor ponderado
20 800 0,015 240
30 1.000 0,02 600
= 840

Somados valores ponderados
Prazo médio = ------------------------------------------------------
Soma dos produtos dos capitais pela taxa

840 840 840
Prazo Médio = ------------------------------------ = ------------ = ------ = 26,25 dias
(800 .0,015) + (1000 . 0,02) 12 + 20 32



7. Taxa média
Sejam os capitais C1; C2; C3... Cn aplicamos as taxa i1; i2; i3... respectivamente, durante o mesmo período de tempo.
A taxa média im é obtida pela soma dos capitais acima, aplicados a esta taxa e no mesmo prazo, obtendo um total de rendimentos idênticos as aplicações originais.

Exemplo:
1) João aplicou seu capital de R$ 7.000,00 da seguinte maneira:
R$ 1.500,00 a 2% a.m.
R$ 2.000,00 a 1,5% a.m.
R$ 3.500,00 a 2,5% a.m.
Qual seria a taxa única, que poderia aplicar seu capital, para se obter o mesmo rendimento?
Solução:
(1500 .0,02) + (2000 . 0,015) + (3500 . 0,035) 30 + 30 + 87,5
I = ------------------------------------------------------ = ------------------- = 0,0210 ou 2,1%
1500 + 2000 + 3500 70000

Exercícios propostos
1) Um capital de R$ 6.000,00 aplicando durante 2 meses, a juros simples, rende R$ 2.000,00.
Determinar a taxa de juros cobrada.
2) Calcular o juro e o montante de uma aplicação de R$ 10.000,00 durante 1 ano, a taxa de juros simples de 0,5%a.m.

3) Em quanto tempo um capital colocado a 0,4% a.m., rende 2/5 do seu valor?

4) (FAAP) Um investimento de R$ 24.000,00, foi aplicado parte a juros de 1,8% a.m., e parte a 3% a.m. Se os juros mensais forem de R$ 480,00, quais as partes correspondentes do investimento?

5) (Mack) A taxa de 4% ao mês (juros simples), R$ 200,00 dobrou de valor ao fim de:
a) 18 meses c) 25 meses e) 50 meses
b) 24 meses d) 48 meses

6) Um capital foi aplicado da seguinte maneira: seus dois terços rendendo 4%a.a e a parte restante rendendo 3% a.a. No fim de um ano, a diferença entre os juros das duas partes foi de R$ 500,00. Qual era o capital inicial?

7) (EPCAR) Um capital foi colocado a render juros simples a uma taxa tal que após 10 meses o capital e os juros reunidos se elevaram a R$ 13.440,00 e após 18 meses se elevaram a R$ 16.512,00. Qual é o capital?

5 - Desconto Simples_________________________________
Lucio Brito
1. Introdução
Nas relações comerciais de compra e venda entre os negociantes ou negociantes e consumidores podem ser a vista ou a prazo. Quando uma compra é feita a vista, a pessoa que adquire o bem, paga ao vendedor, em dinheiro ou cheque no ato da mesma. No caso de uma compra a prazo, o comprador assume um compromisso em quitá-lo em uma data futura. É normal que o credor receba um título de crédito que é o comprovante da sua dívida, caso o mesmo deseje quitar antes da data de vencimento obterá um abatimento que é denominado de desconto.
Os títulos de crédito mais conhecidos são: duplicatas; letras de câmbio; nota promissória.
Desconto (d): é o abatimento que se faz sobre um título de crédito, quando o mesmo é quitado
antes do seu vencimento;
Valor Nominal (N): é o valor do título quando quitado no dia do vencimento;
Valor Atual (A): é o valor líquido recebido (ou pago) antes do vencimento.
Exemplo:
Uma pessoa portadora de um título de crédito no valor de R$ 10.000,00 deseja resgatar o mesmo antes de seu vencimento por R$ 8.000,00.

Valor nominal (N): R$ 10.000,00
Valor atual (A): R$ 8.000,00
Desconto: (d) = 10.000,00 - 8.000,00 = 2.000,00  d = R$ 2.000,00
O exemplo acima mostra as relações envolvidas em uma operação de desconto:
d = N – A ou A = N - d ou N = A + d

2. Tipos de desconto

2.1. Desconto comercial, bancário ou por fora

O desconto comercial incide sobre o valor nominal do título, e equivale ao juro simples onde o
capital inicial corresponde ao valor nominal do título de crédito.
dc = N ⋅ i ⋅ n

dc: Valor do desconto comercial;
N: Valor nominal do título;
i: taxa de desconto;
n: tempo.

2.2. Valor Atual Comercial
A = N - d
A = N - N in

A = N (1 - in)

1) Calcular o desconto comercial de um título de crédito no valor R$ 2.000,00 à taxa 6% a.m., sendo resgatados 2 meses e 10 dias antes do vencimento.

2) Uma duplicata de R$ 6.000,00, foi resgatada 120 dias antes do seu vencimento, sofreu R$ 300,00 de desconto por fora (comercial). Qual a taxa anual usada na operação?

3) Calcular o valor atual de um título de crédito no valor nominal de R$ 1.000,00 que, sofreu um
desconto comercial, a uma taxa de 3% a.m., 108 dias antes do vencimento.

4) Os descontos comerciais de 2 títulos de créditos vencíveis em 90 dias, colocados a taxa de 3% a.a., somam R$ 200,00 e o desconto do primeiro excede o da segunda em R$ 50,00. Calcular os valores nominais desses títulos.

1. Uma duplicata de R$ 20.000,00 foi descontada 2 meses antes de seu vencimento, á taxa de 30% ao ano. CALCULE O VALOR ATUAL E O DESCONTO COMERCIAL

2. Um título, no valor de R$ 8.400,00, com vencimento em 18/10, é resgatado em 20/7. Se a taxa de juros for de 34% ao ano, qual o valor comercial descontado?

3. Um título de R$ 4.800,00 foi descontado antes de seu vencimento por R$ 4.476,00. Sabendo que a taxa de desconto comercial é de 32,4% ao ano, calcule o tempo de antecipação do resgate?

4. Qual a diferença entre "taxa de juros" e "taxa de descontos"? Exemplifique.

5. Uma duplicata de valor nominal igual ä R$123.000,00, com vencimento em l5. 7.1997, foi descontada em 1.2.1997, ä taxa de 3,5% ao mês .Qual o valor creditado ao cliente, e qual o valor do desconto comercial ?

6. Uma duplicata de valor nominal de R$ 150.000,00, com vencimento em 5 meses, ä taxa de 0,158% ao dia. Qual o valor creditado ao cliente e qual o valor do desconto comercial?

7. Qual o tempo em que uma duplicata de R$628.000,00, ä taxa de 12% ao ano, renderá o valor atual de R$346.656,00?

8. Determine o valor do desconto e o valor atual comercial de um título de R$ 50.000,00 disponível dentro de 40 dias, á taxa de 3% ao mês?
9. Determine o desconto comercial de uma promissória de R$ 30.000,00, á taxa de 40% ao ano, resgatada 75 dias antes de seu vencimento?

10. Ao pagar um título de R$ 36.000,00, com antecipação de 90 dias, recebo um desconto de R$ 4.860,00. Qual é a taxa de desconto?

11. Um lote de letras do BACEN com valor de resgate de R$ 4.800.000,00 é adquirido por R$ 4.000.000,00. Considerando que o prazo de vencimento é há 120 dias, calcule a taxa anual de desconto deste lote de letras de câmbio?

12. Um título de R$ 135.000,00 é descontado por R$ 120.000,00. Considerando que o vencimento é em 98 dias, calcule a taxa de desconto semestral cobrada na operação?

13. O valor atual de um título é de 20% de seu valor nominal. Considerando que a taxa de desconto é de 58% ao ano, calcule o prazo de antecipação desta operação?

14. Qual a diferença entre desconto comercial e desconto racional?

15. Por quanto se deve comprar um título com vencimento em 180 dias, se seu valor nominal for de R$ 120.000,00, á taxa de desconto de 40% ao ano?

16. Qual a diferença entre nota promissória, letra de câmbio e duplicata?

RESPOSTAS1:
1) D = R$ 1.000,00 A = R$ 19.000,00

2) D = R$ 765,91 A = R$ 7.634,09

3) n = 75 dias

4) Taxa de Juros incide sobre o capital inicial e Taxa de Desconto incide sobre o montante (valor futuro).

5) D = R$ 19.427,85 A = R$ 103.572,15

6) D = R$ 35.550,00 A = R$ 114.450,00

7) n = 44,8 meses

8) D = R$ 2.000,00 A = R$ 48.000,00

9) D = R$2.497,50 A = R$ 27.502,50

10) r = 0,15% a.d.

11) r = 50% a.a.

12) r = 20,41% a.t.

13) n = 1,38 anos
14) O desconto COMERCIAL considera como capital o valor NOMINAL, o desconto RACIONAL, considera como capital o VALOR ATUAL.

15) A = R$ 96.024,00

16) Nota promissória é o comprovante da aplicação de um Capital com vencimento pré-determinado. Usado entre pessoas físicas ou entre pessoas físicas e uma instituição financeira.
Duplicata, título emitido por uma pessoa jurídica contra seus clientes (físicos ou jurídicos), para a qual vendeu produtos a prazo ou prestou serviços a serem pagos no futuro, conforme contrato.
Letra de câmbio é o comprovante de uma aplicação de capital com vencimento pré-determinado, é um título ao portador, emitido exclusivamente por instituições financeiras.

Os cálculos foram feitos com 5 casas decimais arredondadas.

2.3. Desconto Racional ou Desconto por dentro

É o desconto que incide sobre o valor atual de um título de crédito. Indicaremos desconto
racional por dr.

dr = A i n (1)

Valor do Desconto Racional em função do Valor Nominal
Ar = N - dr (2)

Substituindo (2) em (1), teremos:
dr = (N - dr) ⋅ i ⋅ n
dr = N ⋅ i ⋅ n - dr ⋅ i ⋅ n
dr + dr ⋅ i ⋅ n = N ⋅ i ⋅ n
dr (1 + in) = N ⋅ i ⋅ n

N .i.n
dr = -------
1 +in

2.4. Valor Atual Racional
Ar = N - dr


N.i.n
Ar = N - ------
1 + in

N(1 + in) – N.i.n N
Ar = ----------------------  Ar = --------------
1 + i.n 1 + i.n



2.5. Relação entre Desconto Comercial e o Desconto Racional

N.i.n
dc = N ⋅ i ⋅ n dr = --------
1 + i.n

dc
dr = --------  dc = dr(1 + i.n)
1 + i.n



Exercício resolvido
1) Um título de crédito de valor nominal de R$ 1.600,00 sofre um desconto racional simples a taxa de 1,5% a.m., 75 dias antes do seu vencimento. Calcule o desconto racional e o valor atual.
Solução: Ni.n
N = R$ 1.600,00 dr = --------
i = 1,5% a.m. 1 + i.n
n = 75 dias = 2,5 meses
1600 . 0,015. 2,5 60 60
dr = -----------------------  dr = ----------------  dr = -------- = 57,83
1 + 0,015 . 2,5 1 + 0,0375 1,0375


N 1600
Ar = --------  Ar = --------- = Ar = 1.542,17
1 + i.n 1,0375

APITALIZAÇÃO COMPOSTA (HP12C)
• 5 – CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA

• CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
• Conhecendo o teclado financeiro da HP-12C...

• Os cálculos financeiros podem, também, ser resolvidos pelo teclado localizado na primeira linha da HP-12C .

• Teclas Significado
• n ----------------------prazo
• i -----------------------taxa (representada na forma percentual)
• PV --------------------Valor Presente ou atual
• PMT ----------------- valor das prestações ou pagamentos
• FV ------------------- Valor Futuro ou Montante

• CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
• Observações:

• 1) As teclas financeiras, quando usadas, não exigem uma determinada ordem. Isto significa que poderemos iniciar a resolução utilizando qualquer uma das teclas, bastando informar os dados da questão nas teclas correspondentes e, em seguida, acionar a tecla que você procura como resposta.

• 2) Prazo e taxa devem ser informados na mesma unidade de tempo.

• 3) São necessários, no mínimo, três dados ou informações, para que seja dada a resposta de um cálculo.

• 4) A taxa de juros deve ser indicada na forma percentual (%).

• CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA


• 1) Um capital de R$ 3000,00 foi aplicado à taxa de 8% pelo prazo de 2 meses. Calcular o montante dessa aplicação.
• Fluxo de caixa
• FV = ? Na HP
• 8% a.m. f CLX
• 3.000,00 CHS, PV

• 1 n = 2 8 i

• PV = 2.500 2 n 
• FV R$ 3.499,20

• A HP 12-C trabalha com o conceito de fluxo de caixa (entradas e saídas de dinheiro). Portanto, toda vez que fizer uso das teclas financeiras para resolver problemas financeiros, um dos valores (PV ou FV) será inserido como um número negativo.

• CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA

• Vamos a mais um exercício para reforçarmos os conceitos anteriores:
• 2) Qual o capital que aplicado a uma taxa de 1,5% a. m, durante 6 meses acumulou um montante de R$ 5.000,00?

• FLUXO DE CAIXA FV = 5.000
• 1,5% a.m.

• 0 1 2 3 4 5 n = 6 m
• PV = ?

• Utilizando o teclado financeiro:
• 5.000,00 CHS FV
• 1,5 i
• 6 n
• PV = R$ 4.572,11


• CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA  EXERCÍCIOS
• 1) UM INVESTIMENTO DE $ 1.000,00, COM JUROS CAPITALIZADOS MENSALMENTE, PRODUZIU O MONTANTE DE $ 3.281,00 AO FIM DE 5 ANOS. QUAL É A TAXA NOMINAL ANUAL?

• ( A ) UTILIZANDO AS TABELAS DE MATEMÁTICA FINANCEIRA :
• FV = 3.281 PV = 1.000 n = 5 anos x 12 = 60 meses i = ?

• 3.281 = 1.000 ( 1 + i )60  3.281/1000 = ( 1 + i )60 3,281 = (1 + i)
• NA LINHA n = 60, ENCONTRA-SE O FATOR 3,281 NA PÁGINA CORRESPONDENTE À TAXA DE 2%. Que multiplicado por 12 será igual a 24% a.a
• UTILIZANDO A HP-12C :

• 1.000 CHS PV ;
• 3.281 FV
• 60 n
• i 1,999984
• NO VISOR, TEREMOS: 1,999984 QUE, MULTIPLICADA POR 12, DARÁ A MESMA RESPOSTA QUE OBTIVEMOS EM ( A ), OU SEJA, 24% a.a. . QUE, MULTIPLICADA POR 12 = 24%.



• CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
•  EXERCÍCIOS

• 2) POR QUANTO TEMPO DEVE SER COLOCADO O CAPITAL DE $ 4.000,00 À TAXA DE 8% a.a., A FIM DE PRODUZIR O MONTANTE DE $ 9.328,00, SENDO A CAPITALIZAÇÃO ANUAL?
• ( A ) UTILIZANDO AS TABELAS DE MATEMÁTICA FINANCEIRA :
• PV = 4.000 FV = 9.32 i = 8% a.a. n =?

• 9.328 = 4.000 ( 1 + 0,08 )n 9.328 ÷ 4.000 = ( 1 + 0,08 )n  2,332 = (1 + 0,08 )
• 2,332 = FATOR DA TABELA F , PARA i = 8% e n = ?
• PROCURANDO, NA PÁGINA CORRESPONDENTE À TAXA DE JUROS DE 8% ENCONTRAMOS O FATOR 2,332 NA LINHA CORRESPONDENTE A n = 11 . LOGO, O PRAZO SERÁ DE 11 ( ONZE ) ANOS .
• UTILIZANDO A HP-12C:

• 4.000 CHS PV
• 9.328 FV
• 8 i
• n = 11 meses
• 3) Uma pessoa deseja obter R$ 4.680,00 dentro de seis meses. Quanto deverá aplicar, hoje, num fundo que rende 2,197% ao trimestre?
• Na HP
• 4.680 CHS FV
• 2,197 i
• 2 n
• PV= 4.480,94

• 4) Fiz uma aplicação de R$ 750,00 e, após 3 meses, resgatei R$ 868,22. Qual foi a taxa mensal proporcionada pela aplicação?
• Na HP
• 862,22 CHS FV
• 750 PV
• 3 n
• i = 4,76%


• 5) Se aplicar R$ 800, 00, irei resgatar R$ 912,93; isso porque a taxa prefixada foi de 4,5% a.m. Qual é o prazo para que isso ocorra?
• Na HP

• 800 CHS PV
• 912,93 FV
• 4,5 i
• n = 3 MESES


• 6) A empresa XY Ltda. solicita um empréstimo no valor de R$ 12.500,00, pelo prazo de 33 dias, a uma taxa de 89,5976% ao ano. Qual o valor a ser pago?
• Na HP

• f CLX
• 12.500 CHS PV
• 89,5976 i
• 33 ENTER
• 360 ÷
• n
• FV = 13.254,95

• DESCONTOS COMPOSTOS
• D = FV – PV  PV = FV / (1 + I)n  PV = FV(1 +i)n

• FV = Valo Nominal do título
• PV = Valor Atual do pagamento antecipado
• i = taxa efetiva
• n = prazo da operação (no mesmo prazo da taxa efetiva)

• 1) Qual o desconto composto concedido no pagamento de uma duplicata e Valor Nominal de R$ 5.6000 com vencimento para 2,5 anos, à taxa de 19% a.a.?
• PV = 5600(1+0,19) -2,5 Na HP
• PV = 560. 0647 2.5 n
• PV = 3625,11 19 i
• D = FV – PV 5600 CHS FV
• D = 5600,00 – 3.625,11 0 PMT PV
• D = 1.974,89 5600 -
• CHS = 1.974.89

• Uma empresa contraiu um empréstimo e R$ 25.000,00 por 5 anos, com juros de 5% a.t.. Decorridos 3 anos, a empresa resolve quitar a dívida. O desconto concedido é de 10% a.s. Qual foi o valor do pagamento?
• Na HP
• 25.000 CHS PV
• 5 i
• 20 n (20 trimestres = 5 anos)
• 0 PMT
• FV = 66.332,44 valor original da dívida
• Calcula-se o desconto do 5º para o 3º ano quando o cliente quitará a dívida
• 66.332,44 CHS  FV  10 i  4 n  PV = 45.305,95

NÃO É O QUE EU QUERIA ...

NÃO É O QUE EU QUERIA...

É tudo o que eu não sei ser
Mas é tudo o que queria ter
Saber te amar sem perder
Ser amado sem perceber.

Não sentir teus ciúmes
Nem ligar teus queixumes
Te dar meus prazeres
Sem me deixar entrever
E nos meus quantos dizeres
Nosso universo viver.

Desfazem-me os ritmos sem formas
Desfazem-me as prosas sem rimas
Não sei no que isto me torna
Não sei o que isso me ensina.

E o que comigo havia
Por traz do que agora estou
Não é que eu queria
E agora já não sei quem sou.

Desta eterna ausência à calma
Que o se for, de bom te seria.
No espaço indelével da alma
Agora, pra mim, a noite é fria.

COMO DÓI

COMO DÓI...

Bater o dedo no canto da mesa
Ou sentir o dedo dentro do olho.
Ferroada de abelha
Ou queimar-se no fogo.

Queimar a língua com chá quente
Derrubar o martelo no dedo do pé
Morder a língua ou dor de dente
Dói como perder a fé.

Ralar o joelho no asfalto
E choque elétrico a gente cala,
É como se livrar de um assalto.
E a dor de ouvido nem se fala.

Cólica em dia muito quente
Ou ferroada de escorpião,
Picada de marimbondo, gente!
Coluna? Deixa a gente sem reação.

Queimar-se com ferro de passar
Arrebentar a afta com bicarbonato de sódio
Ferroada de abelha bunduda é de lascar
É como ser campeão e cair do pódio

Toda dor doe,
Toda dor é ruim.
A dor da despedida corroe
Como pedra no rim.


Pisar num caco de vidro alto
Tombo de pisar na casca de banana
Cair de patins no asfalto
Carinho, sem querer, em taturana.

Êxtase

ÊXTASE

Sinto-lhe um amor proficiente
E vivo num mar de estrelas,
Vivendo um sentimento infinito
Que rapta-me de mim mesmo,
Levando-me ao noturno céu
Que se me aproxima
E onde via o bailar das primeiras estrelas
Precocemente luzindo na escuridão,
Como fossem Pirilampos rabiscando o céu.

Deitava-me à praia a espera
Das mãos aquosas do mar,
Do carinho da brisa em meu rosto,
De um beijo do astro sol
Ao dar-me bom dia no amanhecer.

E, eu lhe via, na face do clarão do dia,
Desmanchando a noite em luzes,
Pulando a janela do tempo e
Vindo abraçar-me com gosto quente na boca
E beijava-me no frio dos meus lábios
Que se entregaram à noite escura
E íamos direto para o leito
A procura do êxtase final: amar.

poesia, atras do tempo

ATRÁS DO TEMPO

Vou morar atrás do tempo,

De onde o riso sai largo e manso.

Tenho o gosto da água no vento,

Tenho a palma da sombra em meu pranto.

A chuva cai sobre meu peito,

E eu olho as flores ainda vivas.

Meus passos não perderam o jeito

De andar por estradas antigas.

A primavera me virá mais clara

E a noite já me virá adormecida.

A noite passa sobre meus pensamentos,

O tempo não me descobre a alma,

Essa minh’alma tão conhecida.

E há quem me empreste o depois.

Não tenho mais a forma do esquecimento.

Nos seus gestos, finalmente, encontro nós dois.