MATEMATICA FINANCEIRA

CURSO DE MATEMÁTICA FINANCEIRA

PROFESSOR: LÚCIO BRITO
PORTO SEGURO – BA - 2008
E-mail: lucio_brito50@yahoo.com.br
Cel: (73) 8827.8040

Operações sobre Mercadorias_____________________
LÚCIO BRITO

1. Introdução
Neste capítulo apresentaremos outros problemas de porcentagens, que ocorrem na vida comercial, envolvendo as operações comerciais que podem gerar lucro ou prejuízo sobre o preço de custo ou sobre o preço de venda.

2. Vendas com lucro
2.1. Sobre o preço de custo
2.2. Sobre o preço de venda

VENDAS COM LUCRO SOBRE O PREÇO DE CUSTO
Fórmulas para calcular essa operação:
L = V – C
L = i • C
PV = (1 + i) • C
Onde:
V: Preço de venda;
C: Preço de compra;
L: Lucro;
i: taxa unitária do lucro.

VENDAS COM LUCRO SOBRE O PREÇO DE VENDA
L = V – C
L = i • V
V = C / (1 – i)

Exemplos:
1) Por quanto devo vender um aparelho de som que comprei por R$ 1.200,00 e desejo lucrar 30% sobre a compra?

Solução:

V = C + L
V: preço de venda V = 1200+ (1200 ⋅ 0,3)
C: preço de custo V = 1200+360
L: lucro V = 1.560
R: Deverei vender o aparelho por R$ 1.560,00

2) Comprei um quadro por R$ 4.500,00 e quero obter um lucro de 10% sobre o preço de venda. Por quanto deverei vender esse quadro?
Solução:
C= R$ 4.500,00 V = C + L
L= 0,1 V V = 4500 + 0,1V
V ? 1V - 0,1V= 4500
0,9V = 4500
0,9 V = 4500
V = 5000
R: O quadro deverá ser vendido por R$ 5.000,00

3. Vendas com prejuízo
3.1. Sobre o preço de custo
3.2. Sobre o preço de venda

VENDAS COM PREJUÍZO SOBRE O PREÇO DE CUSTO
P = V – C
P = i x C
V = (1 – i) /C
Onde:
V: Preço de venda;
C: Preço de compra;
P: Prejuízo;
i: taxa unitária do prejuízo.

VENDAS COM PREJUÍZO SOBRE O PREÇO DE VENDA
P = V – C
P = i x V
V = C/(1 – i)

Exemplo:

1) Uma saca de batata foi vendida com um prejuízo de 15% sobre o preço de custo. Sabendo-se que essa saca custou R$ 200,00. Qual foi o preço de venda?
Solução:
V: preço de venda V = C – P
C: preço de custo V = 200 - 0,15. 200
P: prejuízo V = 200 – 30
V = 170
R: Logo, a saca de batata foi vendida por R$ 170,00.

2) Um automóvel custando R$ 5.500,00 foi vendido com um prejuízo de 10% sobre o preço de venda. Calcule o preço de venda.
V = C – P
V = 5.500 – 0,1V
1V + 0,1V = 5.500
1,1V = 5.500
V = 5.500 / 1,1 = 5.000

AUMENTOS E ABATIMENTOS SUCESSIVOS

AUMENTOS SUCESSIVOS
Todo aumento sucessivo configura um MONTANTE acumulado de todas as taxas aplicadas.
Fórmula para calcular os aumentos sucessivos:
M = VP. (1 + i1). (1 + i2). (1 + i3). (1 + i4)... (1 + in).
Onde:
M = Montante ou valor atual das taxas aplicadas;
VP = Valor principal da fatura ou nota de promissória;
i = taxa de aplicação.

ABATIMENTOS SUCESSIVOS
Todo abatimento sucessivo configura um LÍQUIDO acumulado de todas as taxas aplicadas.
Fórmula para calcular os aumentos sucessivos:
L = VP. (1 + i1). (1 + i2). (1 + i3). (1 + i4)... (1 + in).
Onde:
L = Líquido ou valor atual das taxas aplicadas;
VP = Valor principal da fatura ou nota de promissória;
i = taxa de aplicação.

Exercícios propostos

1) Certa mercadoria foi vendida por R$ 1.560,00, com prejuízo de 12% sobre seu preço de custo. O preço de custo dessa mercadoria é de:

2) Uma fatura no valor de R$ 800,00 sofreu abatimentos sucessivos de 5%; 6% e 10%. Calcule o valor líquido da fatura.

3) Maria vendeu um relógio por R$ 650,00 com um prejuízo de 3,5% sobre o preço de compra. Para que tivesse um lucro de 6% sobre o custo, ela deveria ter vendido por:

4) Joana vendeu um fogão com prejuízo de 6% sobre o preço de venda. Admitindo-se que ela tenha comprado o produto por R$ 650, 00, o preço de venda foi de:

5) (TTN) Um terreno foi vendido por R$ 16.500,00, com lucro de 10%, em seguida, foi revendido por R$ 20.700,00. O lucro total das duas transações representa sobre o custo inicial do terreno um percentual de:

MATEMATICA FINANCEIRA
NOÇÕES BÁSICAS


Conceito: A MATEMÁTICA FINANCEIRA tem por objetivo estudar as diversas formas de evolução do valor do dinheiro no tempo, bem como as formas de análise e comparação de alternativas para aplicação / obtenção de recursos financeiros.


Capital  É qualquer valor expresso em moeda (dinheiro ou bens comercializáveis) disponível em determinada época. Referido montante de dinheiro também é denominado de capital inicial ou principal.


Juros  é o aluguel que deve ser pago ou recebido pela utilização de um valor em dinheiro durante certo tempo; é o rendimento em dinheiro, proporcionado pela utilização de uma quantia monetária, por certo período de tempo.


Taxa de Juros  é um coeficiente que corresponde à razão entre os juros pagos ou recebidos no fim de um determinado período de tempo e o capital inicialmente empatado.

Ex.:
Capital Inicial: $ 100
Juros: $ 150 - $ 100 = $ 50
Taxa de Juros: $ 50 / $ 100 = 0,5 ou 50 % ao período
• a taxa de juros sempre se refere a uma unidade de tempo (dia, mês, ano, etc) e pode ser apresentada na forma percentual ou unitária.

Taxa de Juros unitária: a taxa de juros expressa na forma unitária é quase que exclusivamente utilizada na aplicação de fórmulas de resolução de problemas de Matemática Financeira; para conseguirmos a taxa unitária ( 0.05 ) a partir da taxa percentual ( 5 % ), basta dividirmos a taxa percentual por 100:

5 % / 100 = 0.05

Montante  denominamos Montante ou Capital Final de um financiamento (ou aplicação financeira) a soma do Capital inicialmente emprestado (ou aplicado) com os juros pagos (ou recebidos).

Capital Inicial = $ 100
+ Juros = $ 50
= Montante = $ 150

Regimes de Capitalização  quando um capital é emprestado ou investido a certa taxa por período ou diversos períodos de tempo, o montante pode ser calculado de acordo com 2 regimes básicos de capitalização de juros:
Capitalização simples;
Capitalização composta;


Capitalização Simples  somente o capital inicial rende juros, ou seja, os juros são devidos ou calculados exclusivamente sobre o principal ao longo dos períodos de capitalização a que se refere a taxa de juros


Capitalização Composta  os juros produzidos ao final de um período são somados ao montante do início do período seguinte e essa soma passa a render juros no período seguinte e assim sucessivamente.
Comparando-se os 2 regimes de capitalização, podemos ver que para o primeiro período considerado, o montante e os juros são iguais, tanto para o regime de capitalização simples quanto para o regime de capitalização composto;
salvo aviso em contrário, os juros devidos no fim de cada período (juros postecipados) a que se refere a taxa de juros.

No regime de capitalização simples, o montante evolui como uma progressão aritmética, ou seja, linearmente, enquanto que no regime de capitalização composta o montante evolui como uma progressão geométrica, ou seja, exponencialmente.



3 - Juros Simples_____________________________
LÚCIO BRITO

1. Introdução
Quando emprestamos um capital a uma pessoa (física ou jurídica), recebemos de volta a quantia emprestada mais uma quantia que denominamos de juros.
Chamamos de juros simples a remuneração de um capital (C) aplicado a uma taxa (i), por um período de tempo determinado (n). A taxa de juro indica o valor do juro a ser pago numa unidade de tempo, e será expresso em porcentagem do capital.

Exemplos:
a) A taxa de juro de 5% ad. - significa que o valor do juro é igual 5% do capital, por dia.

b) A taxa de juro de 20% a.m. - significa que o valor do juro é igual a 20% do capital, por mês.
Capital (principal ou valor presente)
É a quantia aplicada ou emprestada por um período de tempo.
Prazo (ou tempo) É o período de aplicação do capital.

2. Regime de capitalização
O regime de capitalização pode ser simples ou composto.

2.1. Regime de capitalização simples
No regime de capitalização simples, a taxa de juro incide sobre o capital inicial, e no final de cada período os juros obtidos serão iguais ao produto do capital pela taxa do período.


3. Cálculo do juro simples e montante.
Seja um capital (C) aplicado a uma taxa (i) por período, durante n períodos consecutivos, sob o regime de capitalização simples. Juros formados no final de cada período serão iguais, e, portanto teremos:

JURO SIMPLES J = C.i.n

MONTANTE M = C + J
M = C + C.i.n
M = C(1 + i.n)

Exercícios Resolvidos
1) Calcular os juros produzidos por um capital de R$ 2.000,00 colocado a taxa 1% a.m. durante 1 ano e 2 meses.


Dados:
J=? J = C. i. n
C =R$ 2.000,00 J = 2000 . 0,01 . 14
I =1% a.m. = 0,01 J = 280
n =1 ano 2 meses = 14 meses
R: Os juros obtidos serão de R$ 280,00.

2) Um capital de R$ 4.000,00 rendeu em 1 mês a importância de R$ 1.000,00 de juros. Calcular a taxa.
Dados: J = C• i. • n
C = R$ 4.000,00 1000 = 4.000 • i •. 1
n = 1 mês 1000 = 4000i
i = ? i = 1000 / 4000
J =R$ 1.000,00 i = 0,25 OU 25%

3) Durante quanto tempo é necessário empregar o capital de R$ 200,00 para que renda R$ 80,00 de juros, sendo a taxa 1% a.m.?
Solução:
C= R$ 200,00 J = C •.i . • n
J= R$ 80,00 80 = 200 • 0,01 • n
i= 1% a.m. 80 = 2n
n=? n = 80 / 2
n = 40 meses ou 3 anos e 4 meses
4) Calcular o capital que, aplicado a taxa de 1% a.m., produz em 1 ano e 1 mês, juros de R$ 650,00.
Solução:
i = 1% a.m. J = C • i • n
n = 13 meses 650 = C • 0,01 • 0.13
J= R$ 650,00 650 = C.0,13
C = 650 / 0.13
C = 5000
5) Calcular o montante de um capital de R$ 1.200,00, empregado durante 2 anos e 6 meses a taxa de
0,5% a.m..

Solução M = C(1 + i.n)
M=? M = 1200 (1 + 0,005 • 30)
C = R$ 1.200,00. M = 1200(1 + 0,15)
n= 2 anos e 6 meses = 30 meses M = 1200 • 1,15
i= 0,5% a.m. M = 1.380

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO

01) O capital de R$ 530,00 foi aplicado á taxa de juros simples de 3% ao mês. Qual o valor do montante após 5 meses de aplicação?

02) Um capital de R$ 600, 00, aplicado a uma taxa de juros simples de 20% ao ano, gerou um montante de R$ 1080,00 depois de certo tempo. Qual foi esse tempo?

03) Qual foi o capital que, aplicado à taxa de juros simples de 1,5% ao mês, rendeu R$ 90,00 em um trimestre?

04) A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 4500, 00, no sistema de capitalização simples, para que depois de 4 meses, o montante seja de R$ 5040,00?


05) Quanto rendeu a quantia de RS 600, 00, aplicado a juros simples, com taxa de 2,5 % ao mês, no final de 1 ano e 3 meses?

06) Um capital de R$ 800, 00, aplicado a juros simples com uma taxa de 2% ao mês, resultou um montante de R$ 880,00 após certo tempo. Qual foi o tempo da aplicação?

07) Uma dívida de RS 750,00 foi paga 8 meses depois de contraída e os juros pagos foram de R$ 60,00. Sabendo que o cálculo foi feito usando juros simples, qual foi a taxa de juros?

08) Um capital aplicado a juros simples rendeu, à taxa de 25% ao ano, juros de R$ 110,00 depois de 24 meses. Qual foi esse capital?

09) Em 1º de março de 2004 uma pessoa emprestou a quantia de R$ 4000,00, a juros simples, com taxa de 4% ao mês. Qual era o montante da dívida em 1º de julho de 2004?

10) Durante quanto tempo um capital deve ser aplicado para que seu valor dobre, no sistema de juros simples, a taxa de 2% ao mês. R - 50 meses
11) Calcular os juros simples de R$ 1200,00 a 13 % a.t. por 4 meses e 15 dias.
12 - Calcular os juros simples produzidos por R$40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a., durante 125 dias.
13 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rende R$3.500,00 de juros em 75 dias?
14 - Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão necessários para dobrar um capital aplicado através de capitalização simples?

15- Qual o valor do juro correspondente a um empréstimo de R$ 3.200,00, pelo prazo de 18 meses, sabendo que a taxa cobrada é de 3% ao mês?

16- Calcule o juro simples do capital de R$ 36.000,00, colocado à taxa de 30% ao ano, de 2 de janeiro de 1990 a 28 de maio do mesmo ano.

17- Qual a taxa de juro cobrada em um empréstimo de R$ 1.500,00 a ser resgatado por R$ 2.700,00 no final de 2 anos?

18- A que taxa o capital de R$ 24.000,00 rende R$ 1.080,00 em 6 meses?
19- Um capital emprestado a 24% ao ano rendeu, em 1 ano, 2 meses e 15 dias, o juro de R$ 7.830,00. Qual foi esse capital?

20- Uma aplicação de R$ 400.000,00, pelo prazo de 180 dias, obteve o rendimento de R$ 60.000,00. Qual a taxa anual correspondente a essa aplicação?

21- Em quanto tempo um capital triplica de valor à taxa de 20% ao ano?

22- Por quanto tempo um capital deve ser empregado a 40% ao ano para que o juro obtido seja igual a 4/5 do capital?

23- Determine o montante de uma aplicação de R$ 5.000,00, à taxa de 2% ao mês, durante 2 anos.

24- Sabendo que um capital foi duplicado em 8 anos a juro simples, a que taxa foi empregado esse capital?

25- É mais vantajoso empregar R$ 5.260,00 a 24% ao ano ou R$ 3.510,00 a 22% ao ano e o restante a 28% ao ano?

26- Empregam-se 2/3 de um capital a 24% ao ano e o restante a 32% ao ano, obtendo-se, assim, um ganho anual de R$ 8.640,00. Qual é o valor desse capital?

27- Determine a aplicação inicial que, à taxa de 27% ao ano, acumulou em 3 anos, 2 meses e 20 dias um montante de R$ 586.432,00.

28- Duas pessoas tem juntas R$ 261.640,00 e empregam o que tem à taxa de 40% ao ano. Após 2 anos, a primeira recebe R$ 69.738,00 de juro a mais que a segunda. Qual o capital de cada uma?

29- O montante de uma aplicação por 4 meses é de R$ 42.336,00; por 9 meses a mesma taxa, é de R$ 46.256,00. Calcule a taxa comum e a aplicação inicial.

30- O capital de R$ 7.812,00 foi dividido em 2 partes. A primeira, colocada a 4% ao mês, rendeu durante 5 meses o mesmo juro que a segunda durante 8 meses a 2% ao mês. Calcule o valor de cada parte.

31- Maria, dispondo de R$ 3.000,00, resolveu aplicá-los em duas financeiras. Na primeira aplicou uma parte a 8% am por 6 meses e na segunda aplicou o restante a 10% am por 8 meses. Sendo de R$ 1.824,00 a soma dos juros auferidos nas duas aplicações, determine o valor dessas aplicações.

32- Um capital ficou depositado durante 10 meses à taxa de 8% am em juros simples. A soma desse capital mais juro, no final desse prazo, foi reaplicada à taxa de juros simples de 10% am, durante 15 meses. No final foi resgatado R$ 1.125.000,00. Calcule o valor do capital inicial aplicado.

33 - Um cliente economizou durante 3 anos, obtendo uma taxa de 4% aa. e depois empregou a soma deste capital e juros na compra de uma casa. O aluguel desta casa rende R$ 4600,00 por um ano, o equivalente a 5% sobre o preço da compra. Que soma o cliente depositou no banco?

34- Comprei uma bicicleta e paguei com um cheque pré-datado para 34 dias, no valor de R$ 204,00. Sabendo-se que a loja cobra uma taxa de juros simples de 6,5% am, calcule o preço da bicicleta se fosse adquirida à vista.

35- Um produto que a vista custa R$ 280,00 pode ser comprado com uma entrada de R$ 160,00 e mais um pagamento de R$ 127,80 para 25 dias. Determine a taxa mensal de juros simples cobrada nesta operação.

36- Uma indústria adquiriu matéria prima no valor de R$ 45.000,00, pagando no ato da compra R$ 15.000,00 e R$ 18.000,00 a ser pago no final de 45 dias após. Qual o pagamento que ainda deverá ser feito no final de 90 dias, para liquidar a dívida, sabendo-se que o vendedor cobra uma taxa linear de 45% aa.?

37 - Um capital acrescido de seus juros de 21 meses soma R$ 156.400,00. O mesmo capital diminuído de seus juros de nove meses é reduzido a R$ 88.400,00. Calcular o capital e a taxa de juros simples ganha.

38- Um capital de R$ 4.500,00 foi dividido em três parcelas que foram aplicadas pelo prazo de um ano. A primeira a juros simples de 4% at, a segunda a juros simples de 6% at e a terceira a juros simples de 10% at. Se o rendimento da primeira parcela for de R$ 160,00 e o rendimento das três parcelas totalizar R$ 1.320,00, calcular o valor de cada parcela.
39- Dois capitais, um de R$ 2.400,00 e outro de R$ 1.800,00, foram aplicados a uma taxa de juros simples. Calcular a taxa considerando que o primeiro capital em 48 dias rendeu R$ 17,00 a mais que o segundo em 30 dias.

40- Uma pessoa aplicou dois capitais a juros simples, o primeiro a 33% aa e o segundo a 45% aa. Se o rendimento de ambas as aplicações totalizou R$ 52.500,00 no prazo de um ano, determinar o valor dos capitais, sabendo-se que o primeiro é 37,5% menor que o segundo.

41- Há 13 meses e 10 dias um capital de R$ 10.000,00 foi aplicado à taxa de juros simples de 6% aa. Se hoje fosse aplicada a importância de R$ 8.000,00 a juros simples de 12% aa, e o primeiro capital continuasse aplicado à mesma taxa, em que prazo os montantes respectivos seriam iguais?

42- Uma empresa obteve um empréstimo de R$ 200.000,00 a juros simples de 10% aa. Algum tempo depois liquidou a dívida, inclusive juros, e tomou um novo empréstimo de R$ 300.000,00 a juros simples de 8% aa. Dezoito meses após o primeiro empréstimo liquidou todos seus débitos, tendo pagado R$ 35.000,00 de juros totais nos dois empréstimos. Determinar os prazos dos dois empréstimos em meses.

43- Uma aplicação de R$ 15.000,00 é efetuada pelo prazo de 3 meses à taxa de juros simples de 26% ao ano. Que outra quantia deve ser aplicada por 2 meses à taxa linear de 18% ao ano para se obter o mesmo rendimento?

44- Uma TV em cores tela plana é vendida nas seguintes condições: R$ 1.800,00 a vista ou a prazo com 30% de entrada mais R$ 1.306,00 em 30 dias. Determinar a taxa de juros simples cobrada na venda a prazo.

GABARITO
01) R - R$ 609,50
02) R - 4 anos
03) R - R$ 2000,00
04) R - 3% ao mês
05) R - R$ 225,00
06) R - 5 meses
07) R - 1% ao mês
08) R - R$ 220,00
09) R - R$ 4640,00
10) R - 50 meses
11) R – R$ 234,00
12) R R$ 5.000,00
13) R R$ 116.666,67
14) R 16 meses
15) 1.728,00
16) 4.380,00
17) 40% aa
18) 0,75% am
19) 27.000,00
20) 30% aa
21) 10 anos
22) 2 anos
23) 7.400,00
24) 12,5% aa
25) indiferente
26) 32.400,00
27) 313.600,00
28) 174.406,00; 87.234,00
29) 2% am; 39.200,00
30) 3.472,00; 4.340,00
31) 1.800,00; 1.200,00
32) 250.000,00
33) 82.142,86
34) 190,00
35) 7,8% am
36) 14.416,42
37) 108.800,00; 25% aa
38) 1.000,00; 1.500,00; 2.000,00
39) 10% aa (0,833% am)
40) 50.000,00; 80.000,00
41) 3.067 dias
42) 3m; 15m
43) 32.500,00
44) 3,65% am
4. Taxas proporcionais
Duas taxas são denominadas de proporcionais, quando seus valores formam uma proporção
com os seus respectivos períodos de tempo, reduzidos numa mesma unidade. Assim, sendo teremos:

I1 I2
----- = -----
n1 n2

Exemplos:
1) Qual a taxa mensal proporcional a taxa de 24% a.a.
Solução:

I1 / 1 = 24 / 12 = 12i = 24 = i = 2%

2) Calcule a taxa anual proporcional a 1,5% a.m.
5. Taxas equivalentes
Duas taxas são denominadas de equivalentes, quando aplicadas a um mesmo capital, num
mesmo período de tempo, e produzem juros iguais.
Exemplo:
Calcular os juros produzidos pelo capital de R$ 1.000,00:
a) a taxa de 2% a.m., durante 3 meses.
b) a taxa de 1,5% a.a., durante 4 anos.
Solução:
a)
J=?
C= R$ 1.000,00 J= C• i• n
i= 2% a.m J= 1000 •0,02 •3
n= 3 meses J= 60,00
b)
J=?
C =R$ 1.000,00 J = C• i•n
i=1,5% a.a J = 1000 •0,15 •4
n=4 anos J = 60,00

Como os juros obtidos são iguais, podemos afirmar que 2% a.m. é uma taxa equivalente a 1,5% a.a

6. Prazo médio
Para o cálculo do prazo médio, mencionaremos quatro casos, a saber::

a) Capitais e taxas iguais.
Neste caso o prazo médio é calculado pela média aritmética simples dos prazos dados.
Exemplo:

1) Uma pessoa aplicou R$ 1.000,00, a taxa de 2% a.a., durante 2 meses e R$ 1.000,00, a mesma taxa, durante 4 meses. Qual o prazo médio dessa aplicação?
2 + 4 = 6 = 3 meses (prazo médio)
2 2
b) Capitais diferentes e taxas iguais
Quando os capitais são diferentes e as taxas iguais, o prazo médio é calculado pela média
aritmética ponderada dos prazos pelos capitais.
Exemplo:
Determine o prazo médio de aplicação de dois capitais, de R$ 1.200,00, e R$ 1.800,00, aplicadas durante 1 ano e 3 anos, respectivamente, a taxas iguais?
Solução:
Multiplicando os prazos pelos respectivos capitais.

1 • 1.200 = 1.200
3 • 1.800 = 5.400
3.000 6.600
Dividindo a soma dos produtos pela soma dos capitais teremos:
6.600 / 3.000 = 2,2 anos

c) Capitais iguais e taxas diferentes.
Quando os capitais são iguais e as taxas diferentes, a solução é idêntica ao caso anterior.

d) Capitais e taxas diferentes.
Quando os capitais e as taxas são distintos, o prazo médio é calculado pela soma dos produtos
dos capitais pelo tempo de aplicação e pela sua respectiva taxa dividida pela soma dos produtos do
capital por essa referida taxa de aplicação.
Exemplo:
Qual o prazo médio de aplicação de dois capitais:
R$ 800,00 em 20 dias a 1,5% a.a., R$ 1.000,00 a 2% a.a. em 30 dias?
Tempo Capital Taxa = Valor ponderado
20 800 0,015 240
30 1.000 0,02 600
= 840

Somados valores ponderados
Prazo médio = ------------------------------------------------------
Soma dos produtos dos capitais pela taxa

840 840 840
Prazo Médio = ------------------------------------ = ------------ = ------ = 26,25 dias
(800 .0,015) + (1000 . 0,02) 12 + 20 32



7. Taxa média
Sejam os capitais C1; C2; C3... Cn aplicamos as taxa i1; i2; i3... respectivamente, durante o mesmo período de tempo.
A taxa média im é obtida pela soma dos capitais acima, aplicados a esta taxa e no mesmo prazo, obtendo um total de rendimentos idênticos as aplicações originais.

Exemplo:
1) João aplicou seu capital de R$ 7.000,00 da seguinte maneira:
R$ 1.500,00 a 2% a.m.
R$ 2.000,00 a 1,5% a.m.
R$ 3.500,00 a 2,5% a.m.
Qual seria a taxa única, que poderia aplicar seu capital, para se obter o mesmo rendimento?
Solução:
(1500 .0,02) + (2000 . 0,015) + (3500 . 0,035) 30 + 30 + 87,5
I = ------------------------------------------------------ = ------------------- = 0,0210 ou 2,1%
1500 + 2000 + 3500 70000

Exercícios propostos
1) Um capital de R$ 6.000,00 aplicando durante 2 meses, a juros simples, rende R$ 2.000,00.
Determinar a taxa de juros cobrada.
2) Calcular o juro e o montante de uma aplicação de R$ 10.000,00 durante 1 ano, a taxa de juros simples de 0,5%a.m.

3) Em quanto tempo um capital colocado a 0,4% a.m., rende 2/5 do seu valor?

4) (FAAP) Um investimento de R$ 24.000,00, foi aplicado parte a juros de 1,8% a.m., e parte a 3% a.m. Se os juros mensais forem de R$ 480,00, quais as partes correspondentes do investimento?

5) (Mack) A taxa de 4% ao mês (juros simples), R$ 200,00 dobrou de valor ao fim de:
a) 18 meses c) 25 meses e) 50 meses
b) 24 meses d) 48 meses

6) Um capital foi aplicado da seguinte maneira: seus dois terços rendendo 4%a.a e a parte restante rendendo 3% a.a. No fim de um ano, a diferença entre os juros das duas partes foi de R$ 500,00. Qual era o capital inicial?

7) (EPCAR) Um capital foi colocado a render juros simples a uma taxa tal que após 10 meses o capital e os juros reunidos se elevaram a R$ 13.440,00 e após 18 meses se elevaram a R$ 16.512,00. Qual é o capital?

5 - Desconto Simples_________________________________
Lucio Brito
1. Introdução
Nas relações comerciais de compra e venda entre os negociantes ou negociantes e consumidores podem ser a vista ou a prazo. Quando uma compra é feita a vista, a pessoa que adquire o bem, paga ao vendedor, em dinheiro ou cheque no ato da mesma. No caso de uma compra a prazo, o comprador assume um compromisso em quitá-lo em uma data futura. É normal que o credor receba um título de crédito que é o comprovante da sua dívida, caso o mesmo deseje quitar antes da data de vencimento obterá um abatimento que é denominado de desconto.
Os títulos de crédito mais conhecidos são: duplicatas; letras de câmbio; nota promissória.
Desconto (d): é o abatimento que se faz sobre um título de crédito, quando o mesmo é quitado
antes do seu vencimento;
Valor Nominal (N): é o valor do título quando quitado no dia do vencimento;
Valor Atual (A): é o valor líquido recebido (ou pago) antes do vencimento.
Exemplo:
Uma pessoa portadora de um título de crédito no valor de R$ 10.000,00 deseja resgatar o mesmo antes de seu vencimento por R$ 8.000,00.

Valor nominal (N): R$ 10.000,00
Valor atual (A): R$ 8.000,00
Desconto: (d) = 10.000,00 - 8.000,00 = 2.000,00  d = R$ 2.000,00
O exemplo acima mostra as relações envolvidas em uma operação de desconto:
d = N – A ou A = N - d ou N = A + d

2. Tipos de desconto

2.1. Desconto comercial, bancário ou por fora

O desconto comercial incide sobre o valor nominal do título, e equivale ao juro simples onde o
capital inicial corresponde ao valor nominal do título de crédito.
dc = N ⋅ i ⋅ n

dc: Valor do desconto comercial;
N: Valor nominal do título;
i: taxa de desconto;
n: tempo.

2.2. Valor Atual Comercial
A = N - d
A = N - N in

A = N (1 - in)

1) Calcular o desconto comercial de um título de crédito no valor R$ 2.000,00 à taxa 6% a.m., sendo resgatados 2 meses e 10 dias antes do vencimento.

2) Uma duplicata de R$ 6.000,00, foi resgatada 120 dias antes do seu vencimento, sofreu R$ 300,00 de desconto por fora (comercial). Qual a taxa anual usada na operação?

3) Calcular o valor atual de um título de crédito no valor nominal de R$ 1.000,00 que, sofreu um
desconto comercial, a uma taxa de 3% a.m., 108 dias antes do vencimento.

4) Os descontos comerciais de 2 títulos de créditos vencíveis em 90 dias, colocados a taxa de 3% a.a., somam R$ 200,00 e o desconto do primeiro excede o da segunda em R$ 50,00. Calcular os valores nominais desses títulos.

1. Uma duplicata de R$ 20.000,00 foi descontada 2 meses antes de seu vencimento, á taxa de 30% ao ano. CALCULE O VALOR ATUAL E O DESCONTO COMERCIAL

2. Um título, no valor de R$ 8.400,00, com vencimento em 18/10, é resgatado em 20/7. Se a taxa de juros for de 34% ao ano, qual o valor comercial descontado?

3. Um título de R$ 4.800,00 foi descontado antes de seu vencimento por R$ 4.476,00. Sabendo que a taxa de desconto comercial é de 32,4% ao ano, calcule o tempo de antecipação do resgate?

4. Qual a diferença entre "taxa de juros" e "taxa de descontos"? Exemplifique.

5. Uma duplicata de valor nominal igual ä R$123.000,00, com vencimento em l5. 7.1997, foi descontada em 1.2.1997, ä taxa de 3,5% ao mês .Qual o valor creditado ao cliente, e qual o valor do desconto comercial ?

6. Uma duplicata de valor nominal de R$ 150.000,00, com vencimento em 5 meses, ä taxa de 0,158% ao dia. Qual o valor creditado ao cliente e qual o valor do desconto comercial?

7. Qual o tempo em que uma duplicata de R$628.000,00, ä taxa de 12% ao ano, renderá o valor atual de R$346.656,00?

8. Determine o valor do desconto e o valor atual comercial de um título de R$ 50.000,00 disponível dentro de 40 dias, á taxa de 3% ao mês?
9. Determine o desconto comercial de uma promissória de R$ 30.000,00, á taxa de 40% ao ano, resgatada 75 dias antes de seu vencimento?

10. Ao pagar um título de R$ 36.000,00, com antecipação de 90 dias, recebo um desconto de R$ 4.860,00. Qual é a taxa de desconto?

11. Um lote de letras do BACEN com valor de resgate de R$ 4.800.000,00 é adquirido por R$ 4.000.000,00. Considerando que o prazo de vencimento é há 120 dias, calcule a taxa anual de desconto deste lote de letras de câmbio?

12. Um título de R$ 135.000,00 é descontado por R$ 120.000,00. Considerando que o vencimento é em 98 dias, calcule a taxa de desconto semestral cobrada na operação?

13. O valor atual de um título é de 20% de seu valor nominal. Considerando que a taxa de desconto é de 58% ao ano, calcule o prazo de antecipação desta operação?

14. Qual a diferença entre desconto comercial e desconto racional?

15. Por quanto se deve comprar um título com vencimento em 180 dias, se seu valor nominal for de R$ 120.000,00, á taxa de desconto de 40% ao ano?

16. Qual a diferença entre nota promissória, letra de câmbio e duplicata?

RESPOSTAS1:
1) D = R$ 1.000,00 A = R$ 19.000,00

2) D = R$ 765,91 A = R$ 7.634,09

3) n = 75 dias

4) Taxa de Juros incide sobre o capital inicial e Taxa de Desconto incide sobre o montante (valor futuro).

5) D = R$ 19.427,85 A = R$ 103.572,15

6) D = R$ 35.550,00 A = R$ 114.450,00

7) n = 44,8 meses

8) D = R$ 2.000,00 A = R$ 48.000,00

9) D = R$2.497,50 A = R$ 27.502,50

10) r = 0,15% a.d.

11) r = 50% a.a.

12) r = 20,41% a.t.

13) n = 1,38 anos
14) O desconto COMERCIAL considera como capital o valor NOMINAL, o desconto RACIONAL, considera como capital o VALOR ATUAL.

15) A = R$ 96.024,00

16) Nota promissória é o comprovante da aplicação de um Capital com vencimento pré-determinado. Usado entre pessoas físicas ou entre pessoas físicas e uma instituição financeira.
Duplicata, título emitido por uma pessoa jurídica contra seus clientes (físicos ou jurídicos), para a qual vendeu produtos a prazo ou prestou serviços a serem pagos no futuro, conforme contrato.
Letra de câmbio é o comprovante de uma aplicação de capital com vencimento pré-determinado, é um título ao portador, emitido exclusivamente por instituições financeiras.

Os cálculos foram feitos com 5 casas decimais arredondadas.

2.3. Desconto Racional ou Desconto por dentro

É o desconto que incide sobre o valor atual de um título de crédito. Indicaremos desconto
racional por dr.

dr = A i n (1)

Valor do Desconto Racional em função do Valor Nominal
Ar = N - dr (2)

Substituindo (2) em (1), teremos:
dr = (N - dr) ⋅ i ⋅ n
dr = N ⋅ i ⋅ n - dr ⋅ i ⋅ n
dr + dr ⋅ i ⋅ n = N ⋅ i ⋅ n
dr (1 + in) = N ⋅ i ⋅ n

N .i.n
dr = -------
1 +in

2.4. Valor Atual Racional
Ar = N - dr


N.i.n
Ar = N - ------
1 + in

N(1 + in) – N.i.n N
Ar = ----------------------  Ar = --------------
1 + i.n 1 + i.n



2.5. Relação entre Desconto Comercial e o Desconto Racional

N.i.n
dc = N ⋅ i ⋅ n dr = --------
1 + i.n

dc
dr = --------  dc = dr(1 + i.n)
1 + i.n



Exercício resolvido
1) Um título de crédito de valor nominal de R$ 1.600,00 sofre um desconto racional simples a taxa de 1,5% a.m., 75 dias antes do seu vencimento. Calcule o desconto racional e o valor atual.
Solução: Ni.n
N = R$ 1.600,00 dr = --------
i = 1,5% a.m. 1 + i.n
n = 75 dias = 2,5 meses
1600 . 0,015. 2,5 60 60
dr = -----------------------  dr = ----------------  dr = -------- = 57,83
1 + 0,015 . 2,5 1 + 0,0375 1,0375


N 1600
Ar = --------  Ar = --------- = Ar = 1.542,17
1 + i.n 1,0375

APITALIZAÇÃO COMPOSTA (HP12C)
• 5 – CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
•
• CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
• Conhecendo o teclado financeiro da HP-12C...

• Os cálculos financeiros podem, também, ser resolvidos pelo teclado localizado na primeira linha da HP-12C .

• Teclas Significado
• n ----------------------prazo
• i -----------------------taxa (representada na forma percentual)
• PV --------------------Valor Presente ou atual
• PMT ----------------- valor das prestações ou pagamentos
• FV ------------------- Valor Futuro ou Montante
•
• CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
• Observações:

• 1) As teclas financeiras, quando usadas, não exigem uma determinada ordem. Isto significa que poderemos iniciar a resolução utilizando qualquer uma das teclas, bastando informar os dados da questão nas teclas correspondentes e, em seguida, acionar a tecla que você procura como resposta.

• 2) Prazo e taxa devem ser informados na mesma unidade de tempo.

• 3) São necessários, no mínimo, três dados ou informações, para que seja dada a resposta de um cálculo.

• 4) A taxa de juros deve ser indicada na forma percentual (%).
•
• CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA


• 1) Um capital de R$ 3000,00 foi aplicado à taxa de 8% pelo prazo de 2 meses. Calcular o montante dessa aplicação.
• Fluxo de caixa
• FV = ? Na HP
• 8% a.m. f CLX
• 3.000,00 CHS, PV
•
• 1 n = 2 8 i

• PV = 2.500 2 n 
• FV R$ 3.499,20

• A HP 12-C trabalha com o conceito de fluxo de caixa (entradas e saídas de dinheiro). Portanto, toda vez que fizer uso das teclas financeiras para resolver problemas financeiros, um dos valores (PV ou FV) será inserido como um número negativo.
•
• CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA

• Vamos a mais um exercício para reforçarmos os conceitos anteriores:
• 2) Qual o capital que aplicado a uma taxa de 1,5% a. m, durante 6 meses acumulou um montante de R$ 5.000,00?

• FLUXO DE CAIXA FV = 5.000
• 1,5% a.m.

• 0 1 2 3 4 5 n = 6 m
• PV = ?

• Utilizando o teclado financeiro:
• 5.000,00 CHS FV
• 1,5 i
• 6 n
• PV = R$ 4.572,11
•
•
• CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA  EXERCÍCIOS
• 1) UM INVESTIMENTO DE $ 1.000,00, COM JUROS CAPITALIZADOS MENSALMENTE, PRODUZIU O MONTANTE DE $ 3.281,00 AO FIM DE 5 ANOS. QUAL É A TAXA NOMINAL ANUAL?

• ( A ) UTILIZANDO AS TABELAS DE MATEMÁTICA FINANCEIRA :
• FV = 3.281 PV = 1.000 n = 5 anos x 12 = 60 meses i = ?
•
• 3.281 = 1.000 ( 1 + i )60  3.281/1000 = ( 1 + i )60 3,281 = (1 + i)
• NA LINHA n = 60, ENCONTRA-SE O FATOR 3,281 NA PÁGINA CORRESPONDENTE À TAXA DE 2%. Que multiplicado por 12 será igual a 24% a.a
• UTILIZANDO A HP-12C :

• 1.000 CHS PV ;
• 3.281 FV
• 60 n
• i 1,999984
• NO VISOR, TEREMOS: 1,999984 QUE, MULTIPLICADA POR 12, DARÁ A MESMA RESPOSTA QUE OBTIVEMOS EM ( A ), OU SEJA, 24% a.a. . QUE, MULTIPLICADA POR 12 = 24%.
•
•
•
• CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
•  EXERCÍCIOS
•
• 2) POR QUANTO TEMPO DEVE SER COLOCADO O CAPITAL DE $ 4.000,00 À TAXA DE 8% a.a., A FIM DE PRODUZIR O MONTANTE DE $ 9.328,00, SENDO A CAPITALIZAÇÃO ANUAL?
• ( A ) UTILIZANDO AS TABELAS DE MATEMÁTICA FINANCEIRA :
• PV = 4.000 FV = 9.32 i = 8% a.a. n =?
•
• 9.328 = 4.000 ( 1 + 0,08 )n 9.328 ÷ 4.000 = ( 1 + 0,08 )n  2,332 = (1 + 0,08 )
• 2,332 = FATOR DA TABELA F , PARA i = 8% e n = ?
• PROCURANDO, NA PÁGINA CORRESPONDENTE À TAXA DE JUROS DE 8% ENCONTRAMOS O FATOR 2,332 NA LINHA CORRESPONDENTE A n = 11 . LOGO, O PRAZO SERÁ DE 11 ( ONZE ) ANOS .
• UTILIZANDO A HP-12C:

• 4.000 CHS PV
• 9.328 FV
• 8 i
• n = 11 meses
• 3) Uma pessoa deseja obter R$ 4.680,00 dentro de seis meses. Quanto deverá aplicar, hoje, num fundo que rende 2,197% ao trimestre?
• Na HP
• 4.680 CHS FV
• 2,197 i
• 2 n
• PV= 4.480,94

• 4) Fiz uma aplicação de R$ 750,00 e, após 3 meses, resgatei R$ 868,22. Qual foi a taxa mensal proporcionada pela aplicação?
• Na HP
• 862,22 CHS FV
• 750 PV
• 3 n
• i = 4,76%


• 5) Se aplicar R$ 800, 00, irei resgatar R$ 912,93; isso porque a taxa prefixada foi de 4,5% a.m. Qual é o prazo para que isso ocorra?
• Na HP

• 800 CHS PV
• 912,93 FV
• 4,5 i
• n = 3 MESES

•
• 6) A empresa XY Ltda. solicita um empréstimo no valor de R$ 12.500,00, pelo prazo de 33 dias, a uma taxa de 89,5976% ao ano. Qual o valor a ser pago?
• Na HP

• f CLX
• 12.500 CHS PV
• 89,5976 i
• 33 ENTER
• 360 ÷
• n
• FV = 13.254,95
•
• DESCONTOS COMPOSTOS
• D = FV – PV  PV = FV / (1 + I)n  PV = FV(1 +i)n

• FV = Valo Nominal do título
• PV = Valor Atual do pagamento antecipado
• i = taxa efetiva
• n = prazo da operação (no mesmo prazo da taxa efetiva)

• 1) Qual o desconto composto concedido no pagamento de uma duplicata e Valor Nominal de R$ 5.6000 com vencimento para 2,5 anos, à taxa de 19% a.a.?
• PV = 5600(1+0,19) -2,5 Na HP
• PV = 560. 0647 2.5 n
• PV = 3625,11 19 i
• D = FV – PV 5600 CHS FV
• D = 5600,00 – 3.625,11 0 PMT PV
• D = 1.974,89 5600 -
• CHS = 1.974.89

• Uma empresa contraiu um empréstimo e R$ 25.000,00 por 5 anos, com juros de 5% a.t.. Decorridos 3 anos, a empresa resolve quitar a dívida. O desconto concedido é de 10% a.s. Qual foi o valor do pagamento?
• Na HP
• 25.000 CHS PV
• 5 i
• 20 n (20 trimestres = 5 anos)
• 0 PMT
• FV = 66.332,44 valor original da dívida
• Calcula-se o desconto do 5º para o 3º ano quando o cliente quitará a dívida
• 66.332,44 CHS  FV  10 i  4 n  PV = 45.305,95